Question

10．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0；②当-1≤x≤3时，y＜0；③abc＜0；④9a+3b+c=0且4a+2b+c＜0；⑤$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＞0；⑥若（0，y₁），（1，y₂）是抛物线上的两点，则y₁＞y₂．
其中正确的是（　　）个．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴的交点可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则根据抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则可对①进行判断；利用函数图象得到当-1≤x≤3时，函数图象都不在x轴上方，则y≤0，则可②进行判断；利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称性方程得到b＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对③进行判断；利用x=3时，y=0；x=2时，y＜0，可对④进行判断；利用抛物线的顶点在第四象限和抛物线的顶点坐标公式可对⑤进行判断；利用二次函数的性质可对⑥直接判断．

解答 解：∵抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，即b=-2a，所以①正确；
当-1≤x≤3时，函数图象都不在x轴上方，则y≤0，所以②错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以③错误；
∵x=3时，y=0；x=2时，y＜0，
∴9a+3b+c=0，4+2b+c＜0，所以④正确；
∵抛物线的顶点在第四象限，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜0，所以⑤正确
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴（1，y₂）是抛物线的顶点，
∴y₁＞y₂．所以⑥正确．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的图象于系数的关系．