Question

如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，
证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

Answer 1

解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAK=∠ABN=120°．
又∠AMK=∠C=60°，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠K，
∴∠K=∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴，
即AK•BN=AB²．
故线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
分析：要想证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关，则需证明它们的乘积是一个定值，根据等边三角形的性质、圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质发现△ABK和△BNA中有两个角对应相等，从而证明两个三角形相似，进一步证明即可．
点评：此题综合运用了等边三角形的性质、圆内接四边形的性质、外角的性质、相似三角形的判定和性质．