Question

【题目】如图，有一个圆和两个正六边形，．的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆相切（我们称，分别为圆的外切正六边形和内接正六边形），若设，的周长分别为，，圆的半径为，则___；____；正六边形，的面积比的值是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意画出图形，连接OE、OG，OF,由正六边形T1，得到∠EOF为60°， 从而得到△EOF为等边三角形，即a=r， 故得到r：a=1：1；在Rt△EOG中，由OG为角平分线，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函数可求出OE及OG的长，即为r：b的比值，然后求出a：b的比值，根据正六边形T1，T2相似，其面积之比等于边长之比的平方，即可求出面积之比.

连接OE、OG、OF，

∵，的周长分别为，，

∴，的边长分别为，，
∵EF=，且正六边形T2，
∴△OEF为等边三角形，OE为圆的半径r，
∴r：= 1：1 ，

∴r：b=；
由题意可知OG为∠FOE的平分线，即∠EOG= ∠EOF=30°，
在Rt△OEG中，OE=r，OG= ，
∵，即，

∴r：a=；
∵r：b=，r：a=，

∴b:a=
∵两个正六边形T1、T2相似，
∴，即，

故答案为：，，.