已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1.1)且过原点O．过抛物线上一点P(x.y)向直线作垂线.垂足为M.连FM(如图)． (1)求字母a.b.c的值, (2)在直线x＝1上有一点F.求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标.并证明此时△PFM为正三角形, (3)对抛物线上任意一点P.是否总存在一点N(1.t).使PM＝PN恒成立.若存在请求出t值.若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)顶点为C(1，1)且过原点O．过抛物线上一点P(x，y)向直线作垂线，垂足为M，连FM(如图)．

(1)求字母a，b，c的值；

(2)在直线x＝1上有一点F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

(3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1，t)，使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)a＝－1，b＝2，c＝0

　　(2)过P作直线x＝1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为．此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形．

　　(3)不存在．因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等．

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已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．

(1)求该抛物线的解析式．

(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．

(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐

标；若存在，请说明理由．

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
【小题1】填空：抛物线的对称轴为直线x＝______，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______；
【小题2】求该抛物线的解析式．

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

已知抛物线y＝ax²＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

（本小题满分14分）

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。设抛物线的顶点为D，求解下列问题：

1.（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；

2.（2）过点D作DF∥轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；

3.（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由。