Question

 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．

（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；

（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．

Answer 1

 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，

∵AB=5，BD=3，

∴AD=8，

∵∠ACB=90°，DE⊥AD，

∴∠ACB=∠ADE，

∵∠A=∠A，

∴△ACB∽△ADE，

∴==

∴==

∴DE=6，AE=10，

即⊙O的半径为3；

过O作OQ⊥EF于Q，

则∠EQO=∠ADE=90°，

∵∠QEO=∠AED，

∴△EQO∽△EDA，

∴=，

∴=，

∴OQ=2.4，

即圆心O到弦EF的距离是2.4；…………5分

（2）连接EG，

∵AE=10，AC=4，

∴CE=6，

∴CE=DE=6，

∵DE为直径，

∴∠EGD=90°，

∴EG⊥CD，

∴点G为CD的中点．…………9分