Question

如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于

 

．

Answer 1

分析：作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积．

解答：解：如图，作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，
∵四边形WEFD是矩形，∠BAB′=30°，
∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，
∴B′F=AB′sin60°=

3

2

，AF=AB′cos60°=

1

2

，WE=DF=AD-AF=

1

2

，
EB′=WE′cot60°=

3

6

，EF=B′F-B′E=

3

3

，
∴S_△B′FA=

3

8

，S_△B′EW=

3

24

，S_WEFD=

3

6

，
∴公共部分的面积=S_△B′FA+S_△B′EW+S_WEFD=

3

3

；
法2：连接AW，如图所示：

根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
∵

AB′=AD AW=AW

，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=

1

2

∠DAB′=30°，
又∵AD=AB′=1，
在Rt△ADW中，tan∠DAW=

WD

AD

，即tan30°=WD，
解得：WD=

3

3

，
∴S_△ADW=S_△AB′W=

1

2

WD•AD=

3

6

，
则公共部分的面积=S_△ADW+S_△AB′W=

3

3

．
故答案为

3

3

．

点评：本题利用了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．