Question

【题目】如图，在中，，，，点为射线上一动点（点不与点重合）．

（1）为何值时，最短，求出此时的最小值；

（2）为何值时，，说明理由；

（3）当的一个顶点与其内心、外心在同一条直线时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）时，，理由见解析；（3），8，

【解析】

（1）当点在点时，，此时最短，根据勾股定理求解即可；

（2）当时，，所以，再根据已知条件即可判断；

（3）根据AB边固定可以分三种情况进行讨论；

解：（1）当点在点时，，此时最短．

在中，

∴，

此时

（2）当时，，

理由：当时，，所以，

又∵，，

∴

（3）当点A与内心、外心重合，△APB是等腰三角形，C为底边的中点，

∵，，，

∴，

∴BP=2BC=；

当P点与内心、外心重合，△APB是以AB、BP为腰的等腰三角形，

∵AB=8，

∴BP=8；

当点B与内心、外心重合，如图所示，△APB是以为钝角的三角形，且AP=PB，作，

则，

∴，

∵BF=4，AB=8，，

∴，

∴BP= ；

故BP的值为，8，．