Question

如图，∠AOB=120°，

AB

的长为2π，⊙O₁和

AB

、OA、OB相切于点C、D、E，求⊙O₁的周长．

Answer 1

分析：连接OC、O₁E、O₁D，则O₁在OC上，O₁E⊥OB，O₁D⊥OA，根据，∠AOB=120°，

AB

的长为2π，利用弧长公式可求出OA的长，然后再利用勾股定理解直角三角形O₁OE，就可求出小圆的半径，从而求出小圆的周长．

解答：解：连接OC、O₁E、O₁D，则O₁在OC上，O₁E⊥OB，O₁D⊥OA，
设⊙O₁的半径为r，即O₁E=r．
∵∠AOB=120°，
∴∠COB=60°，OE=

1

2

OO₁=

1

2

（OC-O₁C）=

1

2

（OC-O₁E）．
又∵2π=

120π•OB

180

，
∴OB=3．∴OE=

1

2

（3-r）．
由OO₁²=O₁E²+OE²，
∴（3-r）²=r²+

1

4

（3-r）²，得：r=6

3

-9．
∴⊙O₁的周长=2πr=（12

3

-18）π．

点评：本题主要考查了弧长公式和勾股定理的应用．