Question

20．已知如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD=10，BD交AC于点E，连接DC．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求弦AC的长度．

Answer 1

分析 （1）因为∠A=50°，∠ABC=60°，所以利用三角形的内角和可得∠ACB=70°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D=50°，又因为∠BCD是直径所对的圆周角，所以等于90°，因此可得∠ECD=20°，利用内角和与对顶角相等可得∠AEB等于110°；
（2）连接AO．CO，过O作OH⊥AC于H，根据圆周角定理得到∠AOH=60°，根据三角函数的定义得到AH=AO•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，根据等腰三角形的性质即可得到结论．AC=2AH=5$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如图1，连接AE，
∵∠A=50°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=70°，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=20°，
∴∠ABD=∠ACD=20°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-（50°+20°）=110°；

（2）如图2，连接AO．CO，过O作OH⊥AC于H，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOH=60°，
∵BD=10，
∴AO=5，
∴AH=AO•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵OA=OC，
∴AC=2AH=5$\sqrt{3}$．

点评 本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．