题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从点A出发沿线路AB-BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC-CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点相遇．（1）求出AC与BC的长度；
（2）试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？
（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值．（
| 3 |
分析：（1）根据已知条件和三角函数就可以得出AC与BC的长度；
（2）在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么，BE=t-12，CE=at-12，这两个式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，根据对应边的不同可以分几种情况进行讨论．当过D点作DE1∥AB时，△DCE1∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以解出．当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2，则△DCE2∽△ABC，根据相似三角形的性质易得结论．
（2）在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么，BE=t-12，CE=at-12，这两个式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，根据对应边的不同可以分几种情况进行讨论．当过D点作DE1∥AB时，△DCE1∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以解出．当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2，则△DCE2∽△ABC，根据相似三角形的性质易得结论．
解答：
解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，
∴AC=2AB=24（厘米）．
BC=
AB=12
（厘米）．
（2）E点不会是BC的中点．
在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E点不会是BC的中点．
（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，
当过D点作DE1∥AB，交CB于E1
则△DCE1∽△ACB时，
=
=
∴E点是BC的中点．
但CE1=at-12，BE1=t-12，
∵a＞1，故at-12＞t-12，
即CE1＞BE1，与E点是BC的中点矛盾，
当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2
则△DCE2∽△ABC
=
=
=
，
∴CE2=24×
=8
，
依题意得，
，
解得
．
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．
解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，∴AC=2AB=24（厘米）．
BC=
| 3 |
| 3 |
（2）E点不会是BC的中点．
在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E点不会是BC的中点．
（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，
当过D点作DE1∥AB，交CB于E1
则△DCE1∽△ACB时，
| CE1 |
| CB |
| CD |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∴E点是BC的中点．
但CE1=at-12，BE1=t-12，
∵a＞1，故at-12＞t-12，
即CE1＞BE1，与E点是BC的中点矛盾，
当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2
则△DCE2∽△ABC
| CE2 |
| AC |
| CD |
| BC |
| 12 | ||
12
|
| ||
| 3 |
∴CE2=24×
| ||
| 3 |
| 3 |
依题意得，
|
解得
|
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．
点评：本题是一个综合题，有一定的难度，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识．
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