Question

如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM＋CD．

  ⑴求证：点F是CD边的中点；

  ⑵求证：∠MBC＝2∠ABE．

 

Answer 1

证明：⑴∵正方形ABCD中AD=AB，∠ADC=∠BAD=90°

            ∴∠1+∠2=90°

            ∵AF⊥BE    ∴∠3+∠2=90°

            ∴∠1=∠3             

            在△ADF和△BAE中

           

            ∴△ADF≌△BAE      ∴DF=AE             

            ∵AE=DE=AD     AD=AB

            ∴DF=CF=AB     ∴点F是CD边的中点    

          ⑵连结BF，并延长交AD的延长线于点N

            ∵正方形ABCD中AD∥BC   ∴∠4=∠N

            在△NDF和△BCF中

            ∴△NDF≌△BCF      ∴DN=CB              

            ∵正方形ABCD中AD=BC=CD    ∴DN=CD

            ∵BM=DM+CD              ∴BM=DM+DN=MN

            ∴∠5=∠N=∠4     即∠MBC=2∠4              

            在△ADF和△BCF中

            ∴△ADF≌△BCF       ∴∠1=∠4

            ∵∠1=∠3              ∴∠1=∠4              

            ∴∠MBC=2∠3=2∠ABE                        

      （注：只要方法正确按同等情况给分）新- 课 -标- 第  -一- 网