Question

【题目】已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0， ），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为 ．

（1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵圆心O的纵坐标为 ，

∴设Q（m， ），F（0， ），

∵QO=QF，

∴m2+（ ）2=m2+（ ﹣ ）2，

∴a=1，

∴抛物线为y=x2

（2）

解：∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m， ），

∵O、Q、M在同一直线上，

∴KOM=KOQ，

∴ = ，

∴m= ，

∵QO=QM，

∴m2+（ ）2=（m﹣t）2=（ ﹣t2）2，

整理得到：﹣ t2+t4+t2﹣2mt=0，

∴4t4+3t2﹣1=0，

∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，

∴t1= ，t2=﹣ ，

当t1= 时，m1= ，

当t2=﹣ 时，m2=﹣ ．

∴M1（ ， ），Q1（ ， ），M2（﹣ ， ），Q2（﹣ ， ）

（3）

解：设M（n，n2）（n＞0），

∴N（n，0），F（0， ），

∴MF= =n2+ ，MN+OF=n2+ ，

∴MF=MN+OF．

【解析】（1）设Q（m， ），F（0， ），根据QO=QF列出方程即可解决问题．（2）设M（t，t2），Q（m， ），根据KOM=KOQ ， 求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0， ），利用勾股定理求出MF即可解决问题．本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．