Question

如图，△ABC中，∠C是直角，∠A=30°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径画圆，交AC于点D，交AB于点E．
（1）求

DE

的长度；
（2）过点E作EF⊥BC交圆于F点，写出EF与AC的关系，并证明你写出的关系．

Answer 1

分析：（1）要求

DE

的长度，需连接CE．根据弧长公式，只需求得∠DCE的度数．根据已知条件发现等边三角形BCE，从而求解；
（2）分析EF与AC的关系，易得它们的位置关系是平行；结合30°的直角三角形的性质和三角形的中位线定理、垂径定理即可证明它们的数量关系是相等．

解答：解：（1）如图，连接CE．
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
∵CB=CE，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠ECA=30°．
∴

DE

=

30π×2

180

=

π

3

．

（2）EF与AC的关系有：EF∥AC，EF=AC．
证明如下：设EF与BC垂直，垂足是点O．
∵EF⊥BC，
∴∠EOB=90°，EO=

1

2

EF．
∵∠C=90°，
∴EF∥AC．
∴∠BEF=∠A=30°，在Rt△EOB中，BO=

1

2

BE=

1

2

BC．
∵EF∥AC，
∴EO=

1

2

AC，
∵EO=

1

2

EF，
∴EF=AC．

点评：此题综合考查了等边三角形的判定和性质、弧长公式、直角三角形的性质和三角形的中位线定理．