Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
（1）△ABC的形状是______，理由是______；
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．

Answer 1

（1）解：根据圆周角定理，可得，△ABC是直角三角形，因为直径所对的圆周角是直角．

（2）证明：∵∠ACB是直角，BE⊥CD，CD是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DE，
∴CO∥BE，
∴∠OCB=∠EBC，
又∵且OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC；
∴∠OBC=∠EBC，
∴BC平分∠ABE；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=60°，OA=2，
∴AB=4，
∴BC=AB•sin60°=4×=2，
∴CE=BC=．　
故答案为：（1）直角三角形；直径所对的圆周角是直角．（3）CE等于．
分析：（1）△ABC是直角三角形，直径所对的圆周角是直角．
（2）由∠ACB是直角，BE⊥CD，且OC=OB，可证BC平分∠ABE；
（3）∠A=60°，可得∠ABC=∠CBE=30°，OA=2，所以，BC=2，所以在直角三角形CBE中，CE=BC=．
点评：本题考查了直角三角形、切线及圆周角的性质定理，本题综合性较强，熟记且能运用是解答的关键．