题目内容
如图，在直角坐标系中，已知点A（| 3 |
| 3 |
x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．（1）若抛物线y=
| 1 |
| 3 |
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据A（
，0），B（-
，0）可求圆半径是2
，连接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D两点坐标代入抛物线y=
x2+bx+c，可求抛物线解析式，将B点坐标代入解析式进行检验即可；
（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=
，代入直线CD的解析式即可求P；
（3）∵BC=4
，Q点横坐标是
，M在Q点左边，则M点横坐标为
-4
=-3
，代入抛物线解析式可求M点坐标．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=
| 3 |
（3）∵BC=4
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）∵OA=
，AB=AC=2
，
∴B（-
，0），C（3
，0），连接AD，
在Rt△AOD中，AD=2
，OA=
，
∴OD=
=3，
∴D的坐标为（0，-3），（3分）
又∵D，C两点在抛物线上，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2-
x-3，（5分）
当x=-
时，y=0，
∴点B（-
，0）在抛物线上，（6分）
（2）∵y=
x2-
x-3，
=
（x-
）2-4，
∴抛物线y=
x2-
x-3的对称轴方程为x=
，（7分）
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由
，
得
，
∴直线DC的解析式为y=
x-3．
由
，
得
，
故点P的坐标为(
，-2)．（9分）
（3）存在，设Q（
，t）为抛物线对称轴x=
上一点，
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（xm，t），
由BC=QM得QM=4
，
从而xm=-3
，t=12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（-3
，12）或（5
，12）或（
，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）
| 3 |
| 3 |
∴B（-
| 3 |
| 3 |
在Rt△AOD中，AD=2
| 3 |
| 3 |
∴OD=
| AD2-OA2 |
∴D的坐标为（0，-3），（3分）
又∵D，C两点在抛物线上，
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
当x=-
| 3 |
∴点B（-
| 3 |
（2）∵y=
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
∴抛物线y=
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由
|
得
|
∴直线DC的解析式为y=
| ||
| 3 |
由
|
得
|
故点P的坐标为(
| 3 |
（3）存在，设Q（
| 3 |
| 3 |
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（xm，t），
由BC=QM得QM=4
| 3 |
从而xm=-3
| 3 |
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（-3
| 3 |
| 3 |
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点评：本题考查了点的坐标及二次函数解析式的求法，要求会在坐标系中求线段和最小的问题以及探求平行四边形的条件．
练习册系列答案
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