Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，其中点A、C分别在x、y轴上，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：A点坐标为

 

，P点坐标为

 

；
（2）若P，A两点在抛物线y=-

4

3

x²+bx+c上，试说明点C在此抛物线上；
（3）设E（0，n）是y轴上的动点，过点E的直线y=

3

x+n与第（2）小题中所得的抛物线交于点M、N．
①当n＜1，EM和EN的大小如何？为什么？
②当n为何值时，△MCN是以MN为斜边的直角三角形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用翻折变换的性质以及锐角三角函数关系得出PD以及CE的长，进而得出答案；
（2）利用点P（

3

2

，

3

2

），A（

3

，0）在抛物线上，利用待定系数法求二次函数解析式进而得出C点是否在抛物线上；
（3）①首先得出MP′=NQ，进而得出△MEP′≌△NEQ，即可得出EM=EN；
②设y=

3

x+n与x轴交于点F，则∠OFE=60°，（即∠OEF=30°），若∠MCN=90°，则CE=EM=NE，进而得出答案．

解答：解：（1）过点P作PD⊥AO于点D，交BC于点E，
∵矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC，
∴A（

3

，0），tan∠CAO=

1

3

=

3

3

，PC=1，
∴∠CAO=30°，
∴∠OCA=60°，∠ACB=30°，
∴∠PCB=60°-30°=30°，
∴PE=

1

2

PC=

1

2

，EC=

1-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴PD=PE+ED=1+

1

2

=

3

2

，
∴P（

3

2

，

3

2

）；
故答案为：（

3

，0），（

3

2

，

3

2

）；

（2）∵点P（

3

2

，

3

2

），A（

3

，0）在抛物线上，
∴

- 4 3 × 3 4 +b× 3 2 +c= 3 2 - 4 3 ×3+b× 3 +c=0

，
解得：

b= 3 c=1

，
∴抛物线解析式为：y=-

4

3

x²+

3

x+1，
已知C点坐标为；（0，1），
∵-

4

3

×0²+

3

×0+1=1，
∴点C在此抛物线上；

（3）①EM=EN，
理由：作MP′⊥y轴，NQ⊥y轴，垂足分别为P′、Q，
由

y=- 4 3 x2+ 3 x+1 y= 3 x+n

，
解得：x=±

3-3n

2

（n＜1），
即|x_M|=|x_N|，
∴MP′=NQ，
∴在△MEP′和△NEQ中

∠MEP′=∠NEQ ∠EP′M=∠EQN MP′=NQ

，
∴△MEP′≌△NEQ（AAS），
∴EM=EN；
②设y=

3

x+n与x轴交于点F，
则∠OFE=60°，（即∠OEF=30°），
∴ME的长是MP′的2倍，
即ME=

3-3n

2

×2，
若∠MCN=90°，
则CE=EM=NE，
∴1-n=

3-3n

2

×2，
解得；n₁=1，n₂=-2，
∵n＜1，∴n=-2，
∴当n=-2时，△MCN是以MN为斜边的直角三角形．

点评：此题主要考查了锐角三角函数关系以及全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式等知识，利用数形结合以及直角三角形的性质得出EC=ME是解题关键．