Question

4．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间位插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．
请阅读以上材料，解决下列问题．
（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数；
（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数（0≤m≤9，且m为3的倍数），试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．

Answer 1

分析 （1）设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b，根据关联数为原数的9倍即可得出b与a、m之间的关系，结合a、b、m的特点即可得出结论；
（2）设原数前n位数为A、后n位数为B，则关联数为$\overline{AmB}$，原数10倍为$\overline{AB0}$，将关联数与原数10倍相减得：m•10ⁿ-9B，再根据m和9均为3的倍数，即可证出结论．

解答 （1）解：设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b，
∵amb=9ab，
∴100a+10m+b=9×（10a+b），
∴5a+5m=4b，
∴5（a+m）=4b，
∵b、m为整数，a为正整数，且a、b、m均为一位数，
∴b=5，a+m=4，
∴a=1，m=3；a=2，m=2；a=3，m=1；a=4，b=0．
∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405．
（2）证明：设原数前n位数为A、后n位数为B，则关联数为$\overline{AmB}$，原数10倍为$\overline{AB0}$，
将关联数与原数10倍相减得：m•10ⁿ-9B．
∵m和9均为3的倍数，
∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除．

点评 本题考查了约数与倍数以及有理数的乘法，解题的关键是：（1）找出b与a、m之间的关系；（2）将关联数与原数的10做差得出m•10ⁿ-9B．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，设出合适的未知量是解题的关键．