题目内容

如图（1），已知抛物线y=ax²+b与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点M，点B的坐标为（4，0），点M的坐标为（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N的坐标为（O，-3），作DN⊥y轴于点N，交抛物线于点D；直线y=-5垂直y轴于点C（0，-5）；作DF垂直直线y=-5于点F，作BE垂直直线y=-5于点E．
①求线段的长度：MC=，MN=；BE=，BN=；DF=，DN=；
②若P是这条抛物线上任意一点，猜想：该点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN有怎样的数量关系？
（3）如图（2），将N点改为抛物线y=x²-4x+3对称轴上的一点，直线y=-5改为直线y=m（m＜-1），已知对于抛物线y=x²-4x+3上的每一点，都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，求m的值及点N的坐标．

解：（1）∵抛物线y=ax²+b与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点M，点M的坐标为（0，-4），
代入得： $\text{[math]}$ ，
解得：a= $\text{[math]}$ ，b=-4，
∴y= $\text{[math]}$ x²-4，
答：抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²-4．

（2）①MC=5-4=1，MN=4-3=1，BE=|-5|=5，BN= $\text{[math]}$ =5，DF=1+1=2，
y=-3代入抛物线的解析式得：-3= $\text{[math]}$ x²-4，
∵x＞0，
∴x=2，
DN=2，
故答案为：1，1，5，5，2，2．

②由①可知：抛物线上每一点到直线y=-5的距离与该点到N点韵距离相等，
∴PH=PN，
答：点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN的数量关系是PH=PN．

（3）由y=x²-4x+3得：
B点坐标为（3，0），顶点M坐标为（2，-1），
作BE垂直直线y=m于点E，
抛物线上每一点都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，
∴BN-BE=-m，GN=2+m，
在Rt△BNG中，BN²=GN²+BG²，
解得m=- $\text{[math]}$ ，
GN= $\text{[math]}$ ，
∴m的值为- $\text{[math]}$ ，点N的坐标为（2，- $\text{[math]}$ ），
答：m的值为- $\text{[math]}$ ，点N的坐标为（2，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）把B、M的坐标代入抛物线的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）①根据点的坐标可求出MC、MN、BE、DF，由勾股定理求出BN，把y=-3代入抛物线的解析式求出DN；②由①可知：抛物线上每一点到直线y=-5的距离与该点到N点韵距离相等，即可得出答案；
（3）由y=x²-4x+3得出B点坐标为（3，0），顶点M坐标为（2，-1），作BE垂直直线y=m于点，推出BN-BE=-m，GN=2+m，根据BN²=GN²+BG²，求出m即可．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．