Question

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S_△DEF+S_△CEF=S_△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

解：图2成立；图3不成立． 图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°， 又∵∠C=90°， ∴DM∥BC，DN∥AC， ∵D为AB边的中点， 由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC， ∵AC=BC， ∴MD=ND， ∵∠EDF=90°， ∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°， ∴∠MDE=∠NDF， ∴△DME≌△DNF， ∴S△DME=S△DNF， ∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN=S△ABC， ∴S△DEF+S△CEF=S△ABC． 图3不成立． 证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°） S△DEF=S△DBF+S四边形DBFE， =S△DEC+S四边形DBFE， =S五边形DBFEC， =S△CFE+S△DBC， =S△CFE+， ∴S△DEF﹣S△CFE=． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF=S△ABC．