Question

如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，∠B＝∠C，点M是AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2个长度单位的速度由点B向点C运动，与此同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，经过1秒后，以点B、M、P为顶点的三角形是否与以点C、P、Q为顶点的三角形全等？请说明理由．

(2)根据(1)的结论，求证：∠MPQ＝90°－∠A

(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相同，△BMP与△CPQ还可能全等吗？若全等，求此时点Q的运动速度，若不全等，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：全等(1分)　　理由：连接MP，PQ 　　由题意得BP＝CQ＝2(2分) 　　∵　　 　　∴BM＝CP(3分) 　　在和中 　　　　∴△BMP≌△CPQ(SAS)(4分) 　　(2)证明：由(1)△BMP≌△CPQ得 　　∠BMP＝∠CPQ　　∠BPM＝∠CQP(5分) 　　∵∠MPQ＝180°－(∠BPM＋∠CPQ) 　　∴∠MPQ＝180°－(∠CPQ＋∠CQP) 　　＝180°－(180°－∠C)＝∠C(7分) 　　∵∠B＝∠C　　∴ 　　∴(8分) 　　(3)解：全等(9分) 　　设点Q的运动速度与点P的运动速度分别为和 　　∵　　∴ 　　当，时(10分) 　　又由∠B＝∠C得△BMP≌△CQP(SAS)(11分) 　　此时(秒) 　　(长度单位/秒) 　　即Q点的运动速度为每秒个长度单位(12分)