题目内容
在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=-4x上，且P到坐标原点距离为
，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．（1）求此抛物线的解析式．
（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）
【答案】分析：（1）由顶点P在直线y=-4x上，且P到坐标原点距离为
，可得出点P的坐标，再利用勾股定理可以解决，
（2）假设出点Q的坐标，表示出AQ，QP的长度，利用勾股定理可以解决．
解答：解：（1）∵顶点P在直线y=-4x上，
可设P（a1，-4a），则有
，
解得：a=±1，
∴P（1，-4）或（-1，4）．
∵抛物线开口向上，又与x轴有交点，
∴（-1，4）不合题意舍去．
设y=a（x-1）2-4=ax2-2ax+a-4与x轴交于点A（x1，0）、
B（{x2，0）
，
，
消x1、x2，
解得a=1；
（2）如图所示，设抛物线上点Q（m，n），过Q作QM⊥x轴于点M．
，
，
，
∵∠QAP=90°，由勾股定理，得
=（m-1）2+（n+4）2，
整理，得m-2n+1=0，又n=m2-2m-3．
解得
（不合题意舍去）或
．
∴Q（
）．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，以及勾股定理的应用，计算量较大，应认真计算．
，可得出点P的坐标，再利用勾股定理可以解决，（2）假设出点Q的坐标，表示出AQ，QP的长度，利用勾股定理可以解决．
解答：解：（1）∵顶点P在直线y=-4x上，
可设P（a1，-4a），则有
，解得：a=±1，
∴P（1，-4）或（-1，4）．
∵抛物线开口向上，又与x轴有交点，
∴（-1，4）不合题意舍去．
设y=a（x-1）2-4=ax2-2ax+a-4与x轴交于点A（x1，0）、
B（{x2，0）
，，消x1、x2，
解得a=1；
（2）如图所示，设抛物线上点Q（m，n），过Q作QM⊥x轴于点M．
，，，∵∠QAP=90°，由勾股定理，得
=（m-1）2+（n+4）2，整理，得m-2n+1=0，又n=m2-2m-3．
解得
（不合题意舍去）或．∴Q（
）．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，以及勾股定理的应用，计算量较大，应认真计算．
练习册系列答案
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