Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线过抛物线的顶点，交轴于点，且．

（1）求和的值；

（2）如图2，点在点和点之间的抛物线上，连接，过点作于点，过点作轴交于点，点在直线右侧的轴上，连接，且，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作于点，延长交于点，点在上，连接，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或．

【解析】

（1）令，求出，，设抛物线对称轴交轴于，，则，，求出，得到，代入，求出h，得到，代入求出k；

（2）延长交轴于，设，得，根据正切定义可得，即，由，求出，从而求出；

（3）基本思路：构造直角三角形，利用正切定义列出等式．即：延长和交于点，过点作轴于点，过点作于点，在上取点，使，过点作于点，过点作于点，过点作于点．根据平行线分线段成比例可求出，根据正切定义得，即，求出，根据，求出，PN，得到，代入解析式求出t，再得到WE，NT，TK；设，求出，根据直角三角形性质得到，故，，即．

解：（1）当时，，解得，，

∴，∴，

设抛物线对称轴交轴于，

∴，设，则，

∴，∴，∴，

∴，代入，

即，∴，

∴代人，即，

∴；

（2）延长交轴于，

设，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，

∴，∴；

（3）延长和交于点，过点作轴于点，过点作于点，在上取点，使，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，即，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∴，解得，或（舍），

∴，∴，

∴，∴，

设，

∴，，，

∴，

根据直角三角形性质得，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

解得或，

∴或．