题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 经过△AEO的顶点A，且AE=AO=5，tan∠AOE= $数学公式$ ，直线y=kx+b与双曲线 $数学公式$ 相交于A，F两点，且F点的坐标为（6，n）
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接EF，求△AEF的面积．

解：（1）作AB⊥OE于E点，如图，
∵AO=AE，
∴OB=EB，
在RtAOB中
∵tan∠AOB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设AB=4x，则OB=3x，
∴OA= $\text{[math]}$ =5x，

而AO=5，
∴x=1，
∴AB=4，OB=3，
∴A（-3，4），
把A（-3，4）代入y= $\text{[math]}$ 得m=-3×4=-12，
∴反比例函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ，
把F（6，n）代入y=- $\text{[math]}$ 得6n=-12，解得n=-2，
∴F点坐标为（6，-2），
把A（-3，4）、F（6，-2）代入y=kx+b得
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
故一次函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ；

（2）如图，C点坐标为（3，0），E点坐标为（-6，0），
S_△AEF=S_△AEC+S_△FEC= $\text{[math]}$ ×9×4+ $\text{[math]}$ ×9×2=18+9=27．
分析：（1）作AB⊥OE于E点，根据等腰三角形的性质得OB=EB，利用正切的定义得tan∠AOB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设AB=4x，则OB=3x，根据勾股定理得OA=5x，则x=1，于是AB=4，OB=3，
得到A（-3，4），把它代入反比例函数解析式求出k，接着确定F点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出一次函数与x轴的交点坐标C（3，0），再根据B点坐标确定E点坐标，然后利用S_△AEF=S_△AEC+S_△FEC进行计算．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式．