Question

如图，AB是⊙O的直径，CF=BF，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：C是弧BD的中点；
（2）若AD=3，⊙O的半径为4，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接AC，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，利用同角的余角相等，可求得∠BCE=∠BAC，又由CF=BF，利用等边对等角，可得∠BCE=∠DBC，即可判定∠BAC=∠DBC，则可得C是弧BD的中点；
（2）首先作CG⊥AD于点G，易证得Rt△BCE≌Rt△DCG可得AE=AB-BE=AG=AD+DG，即可求得BE的长，由△BCE∽△BAC，即可得BC²=BE•AB=20，继而求得BC的长．

解答：（1）证明：如图，连接AC，
∵CF=BF，
∴∠BCE=∠DBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
∴∠DBC=∠BAC，
∴

BC

=

CD

，
∴C是弧BD的中点；

（2）解：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点，
∴CD=CB，∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．
∴CE=CG，AE=AG．
在Rt△BCE与Rt△DCG中，

CE=CG CB=CD

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL），
∴BE=DG，
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG，
∵AD=3，⊙O的半径为4，
即 8-BE=3+DG，
∴2BE=5，即 BE=2.5，
又∵∠CBE=∠ABC，∠CEB=∠ACB=90°，
∴△BCE∽△BAC，
∴

BC

AB

=

BE

BC

，
∴BC²=BE•AB=20，
解得：BC=±2

5

（舍去负值），
∴BC=2

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．