Question

22、求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．

Answer 1

分析：可设最小的自然数为n，则四个连续自然数的积加l，可以写成n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1，再转化为[n×（n+3）]×[（n+1）×（n+2）]+1=（n²+3n）（n²+3n+2）+1=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1=（n²+3n+1）²．从而得以证明．

解答：证明：设最小的自然数为n，则有
n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1，
=[n×（n+3）]×[（n+1）×（n+2）]+1，
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1，
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1，
=（n²+3n+1）²．
故四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．

点评：本题考查了完全平方式，解题的关键是将n×（n+1）×（n+2）×（n+3）首尾相乘，整体思想将使式子转化为完全平方式．