Question

6．引入：在直角三角形中，已知任意两边长就能求出第三边，也可以已知一边和一个锐角，利用直角三角形中已知锐角的大小得出三边的比例关系，求出剩余两边的大小，这类内容称为解直角三角形．
如图，在图①中，三边a：b：c=1：$\sqrt{3}$：2，在图②中，三边a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$．
探究：如图③，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，求出△ABC的三条边长之比．
应用：如图④，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=120°，CD=2，BC=3，求出四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 在图①中，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、勾股定理计算；
在图②中，根据等腰直角三角形的性质计算；
探究：如图③，作AD⊥BC于D，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、勾股定理计算；
应用：如图④，延长AD、BC交于点E，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、勾股定理计算求出边长，根据面积公式计算即可．

解答 解：在图①中，根据直角三角形的性质可知，c=2a，b=$\sqrt{3}$a，
则a：b：c=1：$\sqrt{3}$：2；
在图②中，a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
则a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$，
故答案为：1：$\sqrt{3}$：2；1：1：$\sqrt{2}$；
探究：如图③，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴BC=$\sqrt{3}$AB，
∴△ABC的三条边长之比1：1：$\sqrt{3}$；
应用：如图④，延长AD、BC交于点E，
∵∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，
∴∠E=30°，
∴EC=2CD=4，
∴DE=2$\sqrt{3}$，BE=BC+CE=7，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形ABCD的面积=S_△EAB-S_△EDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{3}}{3}$×7-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}×$2=$\frac{37\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用勾股定理是解题的关键．