Question

16．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC、CB，∠B=∠AEC．
（1）如图1，求证：CE=CD；
（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，EG=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明CE=CD，只要证明∠CED=∠D，利用等角的余角相等即可；
（2）作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，想办法用α表示∠BAC以及∠CAE即可解决问题；
（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，首先证明∠CAG=∠BAC，由tan∠BAC=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，设NG=5$\sqrt{3}$m，可得AN=11m，AG=$\sqrt{A{N}^{2}+N{G}^{2}}$=14m，由∠ACG=60°，推出CN=5m，AM=8$\sqrt{3}$m，MG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=2m=1，推出m=$\frac{1}{2}$，推出CE=CD=CG-EG=10m-2=3推出AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=∠AEC，
∴∠AEC+∠D=180°，
∵∠AEC+∠CED=180°，
∴∠D=∠CED，
∴CE=CD．

（2）解：作CH⊥DE于H．

设∠ECH=α，由（1）CE=CD，
∴∠ECD=2α，
∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，
∴∠CAE+∠AEC=120°
∴∠ACE=180°-∠AEC-∠ACE=60°，
∴∠CAE=90°-∠ACH=90°-（60°+α）=30°-α，
∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，
∵∠ACD=2∠BAC，
∴∠BAC=30°+α，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°-α=60°．

（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG

∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴EM=MG=$\frac{1}{2}$EG=1，
∴∠EAG=∠ECD=2α，
∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°-α+2α=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，
∴设NG=5$\sqrt{3}$m，可得AN=11m，AG=$\sqrt{A{N}^{2}+N{G}^{2}}$=14m，
∵∠ACG=60°，
∴CN=5m，AM=8$\sqrt{3}$m，MG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=2m=1，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴CE=CD=CG-EG=10m-2=3
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7．

点评 本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．