题目内容
【题目】如图，以点
为圆心的圆，交
轴于
，
两点(点在点的左侧)，交
轴于
，
两点(点在点的下方)，
，将
绕点
旋转180，得到
.
(1)求，两点的坐标;
(2)请在图中画出线段
，
，并判断四边形
的形状(不必证明)，求出点
的坐标;
(3)动直线
从与
重合的位置开始绕点顺时针旋转，到与
重合时停止，设直线 与
的交点为
，点
为
的中点，过点作
于点
，连接
， 
.问:在旋转过程中，
的大小是否变化?若不变，求出的度数;若变化，请说明理由.
【答案】(1)
、
两点的坐标分别为(-3,0)(1,0)；(2) 
是平行四边形，点
的坐标为
；(3)在旋转过程中， 
的大小不变，始终等于120°.
【解析】
（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标；（2）由于⊙P是中心对称图形，显然射线AP与⊙P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标；（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．
（1）连接PA，如图1所示．
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2
，
∴OA=．
∵点P坐标为（-1，0），
∴OP=1．
∴PA=
=2．
∴BP=CP=2．
∴B（-3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．
如图2所示，线段MB、MC即为所求作．
四边形ACMB是矩形．
理由如下：
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，
∴四边形ACMB是平行四边形．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°．
∴平行四边形ACMB是矩形．
过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP．
∴MH=OA=，PH=PO=1．
∴OH=2．
∴点M的坐标为（-2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，
∴∠BMC=90°．
∵EG⊥BO，
∴∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵点Q是BE的中点，
∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．
∴∠MQG=2∠MBG．
∵∠COA=90°，OC=1，OA=，
∴tan∠OCA=
，
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∴∠MQG=120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．
