Question

5．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．

Answer 1

分析 （1）连接BD根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD，CH=$\frac{1}{2}$BD，同理FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，由平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果；
（3）根据勾股定理得到BD=$\sqrt{5}$，由三角形的中位线的性质得到FG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，
∴CH是△ABD的中位线，
∴CH∥BD，CH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴CH∥FG，CH=FG，
∴四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图3所示，

（3）解：如图3，∵BD=$\sqrt{5}$，∴FG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴正方形CFGH的边长是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．