Question

【题目】如图，直线y＝x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点E为线段AB的中点，∠ABO的平分线BD与y轴相交于点D，A、C两点关于x轴对称．

（1）一动点P从点E出发，沿适当的路径运动到直线BC上的点F，再沿适当的路径运动到点D处．当P的运动路径最短时，求此时点F的坐标及点P所走最短路径的长；

（2）点E沿直线y＝3水平向右运动得点E'，平面内是否存在点M使得以D、B、M、E'为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），2；（2）（，3）或（，3）

【解析】

（1）首先根据直线与坐标轴的交点求出交点坐标，然后根据直角三角形和角平分线以及对称的性质得出点C、D、E的坐标，进而得出直线BC解析式，再根据对称性质确定最短路径，求出直线E′D解析式，联立两个函数即可得出点F坐标；

（2）根据菱形的性质，分类讨论：BD为边和BD为对角线，求解即可.

（1）∵直线y=x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，

∴点A（0，6），点B（2，0），

∵点E为线段AB的中点，

∴点E（，3）

∵tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

∵BD平分∠ABO，

∴∠ABD=∠DBO=30°，且OB=2，

∴DO=2，BD=2DO=4

∴点D（0，2）

∵A、C两点关于x轴对称．

∴点C坐标为（0，﹣6）

∵设直线BC解析式为：y=kx+b，

∴

∴解得：k=，b=﹣6

∴直线BC解析式为：y=x﹣6

如图，作点D关于直线BC的对称点D'（4，﹣2），连接ED'交BC于点F，

∴点P所走最短路径为D'E的长，

∴D'E==2

设直线ED'解析式为：y=mx+n，

∴

解得：m=﹣，n=

∴直线ED'解析式为：y=﹣x+，

∴

∴

∴点F坐标（，）

（2）若BD为边，设点E'（x，3）

∵四边形BDE'M是菱形，

∴BD=DE'=4

∴4=

∴x=，

∴点E'（，3）

若BD为对角线，

∵四边形BE'DM是菱形

∴DE'=BE'，

∴（x﹣0）2+（3﹣2）2=（x﹣2）2+32，

∴x=

∴点E'坐标（，3）

综上，点E′的坐标为（，3）或（，3）.