Question

【题目】如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；

（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　 　个．

Answer 1

【答案】（1），抛物线的顶点坐标为（）；（2）最小值为；（3）5个

【解析】

(1)将A、C三点的坐标代入y=ax2+bx﹣，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；

(2)连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．

(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM．由M点的个数则可得出点N的个数有5个．

(1)∵二次函数的图象经过点A(﹣1，0)C(2，0)，

∴，

解得：，

∴二次函数的表达式为，

∵y=，

∴抛物线的顶点坐标为()；

(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，

∴，

∵，

∴∠ABO=30°，

∴PH=PB，

∴PB+PD=PH+PD=DH，

∴此时PB+PD最短(垂线段最短);

∵抛物线的顶点坐标为()，

∴，

∵∠ABO=30°，

∴∠HAD=60°，

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，

∴sin60°=，

∴DH=，

∴PB+PD的最小值为；

(3)①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；

②以B为圆心AB为半径画弧，因为，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；

③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；

则满足条件的N点共有5个，

故答案为：5．