Question

【题目】如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．

（1）如图①，当时，求，，之间满足的数量关系，并证明；

（2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，其他条件不变，当时，（1）中的结论变为，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与射线交于点，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）当点落在上时，当点落在的延长线上时DF-DE=AD，见解析.

【解析】

（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3））①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=AD．

解：（1）∵正方形的对角线，交于点，，，，，．

∴，

∵，∴

∴，

∵

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

（2）方法一：如图②，取的中点，连接，

∵四边形为菱形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵是的中点，

∴，

又∵，

∴

又∵，

∴是等边三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴，

方法二：如图②，取的中点，连接，

∵四边形为菱形，

∴，

∴，，，,

∴，

∴在中，，

又∵是的中点，∴，

∴，，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

（3）

在整个运动变化过程中，

①当点落在上时，方法同上可得：，

②当点落在的延长线上时，取AD中点M，连接PM，

如图③，

∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，

∴DF-DE=AD．