Question

【题目】如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB＝4.将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上.

（1）在下图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长.

（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0<t<3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）当t（0<t<3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）E（0，），AE=；（2），当t=时，S最大=；（3）当t＝或秒时，A、D、M三点构成等腰三角形，M（，）；M（3，）．

【解析】

（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；

（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可；

（3）根据题意发现有两种情况满足△ADM为等腰三角形，①当MD=MA时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；②当AD=AM=3时，由平行的两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐标．

（1）据题意，△AOE≌△ADE，

∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，

在Rt△AOB中，AB＝＝5，

设DE=OE=x，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2，

即22+x2=（4-x）2，解得x＝，∴E（0，）

在Rt△AOE中，AE＝；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，

∴四边形PMND是矩形，

∵AP=t×1=t，

∴PD=3-t，

∵△AMP∽△AED，

∴，

∴PM=，

∴S矩形PMND＝PMPD＝(3t)，

∴S矩形PMND＝t2+t或S矩形PMND＝ (t)2+，

当t＝时，S最大＝；

（3）显然DM≠AD，故等腰三角形有以下二种情况：

①当MD=MA时，点P是AD中点，

∴AP＝，

∴t＝÷1＝（秒）

∴当t＝时，A、D、M三点构成等腰三角形，

过点M作MF⊥OA于F，

∵△APM≌△AFM，

∴AF=AP=，MF=MP=＝，

∴OF=OA-AF=3-＝，

∴M（，）；

②当AD=AM=3时，

∵△AMP∽△AED，

∴，

∴，

∴AP＝，

∴t＝÷1＝（秒）

∴当t＝秒时，A、D、M三点构成等腰三角形，

过点M作MF⊥OA于F，

∵△AMF≌△AMP，

∴AF=AP=，FM=PM=＝，

∴OF=OA-AF=3-，

∴M（3，）．