Question

【题目】如图①，在菱形中，，边上一动点从点出发向点匀速运动，速度为，过点作，垂足为，以为边长作等边，点，在直线的异侧，连接．点的运动时间为．

（1）当时，_______；（直接写出答案）

（2）连接，若为等腰三角形，求的值；

（3）如图②，经过点、、作，连接，当与相切时，则的值等于_______（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）当，秒时，为等腰三角形；（3）当与相切时，则

【解析】

（1）当时，BM=4,AM=6,在Rt△BMN中解直角三角形求得MN；再根据等边三角形的性质得到MP=MN，然后再说明∠AMP=90°，最后在Rt△APM运用勾股定理解答即可．

（2）先说明、，再在中解三角形用t表示出AP，最后分PA=PB、PB=BA、PA=AB三种情况分别求解即可；

（3）设BP的中点为O点，连接MD.先说明∠BMO=∠DMP；然后再延长AB，过D作DE⊥AE，交于E点.可得DE//MP,进一步说明∠EDM=∠BMO；再证△BMP∽△DEM，最后运用相似三角形的性质解答即可．

解：（1）当时，BM=4,AM=6

∵，，

∴MN=BM·sin∠ABC=4×=2，∠NMN=30°

∴∠AMP=90°

∵是等边三角形

∴MP=MN=2

在Rt△APM中，运用勾股定理得：

AP=

故答案为4.

（2）如图：连接BP

，，

等边

，

在中

在中，

．

①若即

则（秒）

②若即

（秒）

③若即

则

（舍），（舍）

综上所述：当，秒时，为等腰三角形．

（3）设BP的中点为O点，连接MD.

∵MD与圆0相切

∴MO⊥MD

∴∠DMO=∠BMP=90°

∴∠BMO=∠DMP，

延长AB，过D作DE⊥AE，交于E点

∴DE//MP,

∴∠EDM=∠DMP

∴∠EDM=∠BMO，

在△BMO中，BO=MO，

∴∠MBO =∠BMO，

∴∠EDM=∠BMO，

∴△BMP∽△DEM，

∴

在Rt△ADE中，AD= 10，∠EAD=60°，

∵AE = 5，DE=5

∴ME = 15-2t，

∴

解得t1=，t2=0，

∵t＞0，

∴t=

∴当与相切时，则．