Question

20．阅读理解：对于二次三项式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解为（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+2ax-3a²，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax-3a²中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变．于是有x²+2ax-3a²=x²+2ax-3a²+a²-a=x²+2ax+a²-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=（x+3a）（x-a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法把x²-4x+3分解因式．
（2）多项式x²+2x+2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时，x是多少？
（3）请用上述方法把x⁴+x²+1分解因式．

Answer 1

分析 （1）用添项或拆项的方法分解因式；
（2）用添项或拆项的方法分解因式，再利用a²≥0，根据非负性来确定极值；
（2）用两次添项或拆项的方法分解因式，主要是要分解到不能再分解为止．

解答 解：（1）x²-4x+3=x²-4x+3+1-1=（x-2）²-1=（x-2+1）（x-2-1）=（x-1）（x-3）；
（2）有最小值，
理由是：
x²+2x+2=x²+2x+1+1=（x+1）²+1，
∵（x+1）²≥0，
∴（x+1）²+1≥1，
∴当x=-1时，x²+2x+2有最小值，最小值是1，；
（3）x⁴+x²+1=x⁴+2x²-2x²+x²+1=（x⁴+2x²+1）-2x²+x²=（x²+1）²-x²=（x²+1+x）（x²+1-x）=（x²+x+1）（x²-x+1）．

点评 此题是因式分解的应用，主要考查了添（拆）项的方法分解因式，添（拆）项是解本题的关键．