Question

如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，现有：
①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180゜；④OA+OB=20M，
若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论．
（1）已知：①②，求证：③④； 
（2）已知：①③，求证：②④；
（3）已知：①④，求证：②③；
（4）已知：②③，求证：①④．

Answer 1

分析：（1）首先证明Rt△ECB≌Rt△MCA，进而得出Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性质得出答案即可；
（2）首先证明△ECB≌△MCA，进而证明Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性质得出答案即可；
（3）首先证明Rt△ECO≌Rt△MCO，进而证明△ECB≌△MCO，再利用全等三角形的性质得出答案即可；
（4）首先证明△ECB≌△MCA，进而证明Rt△EOC≌Rt△MOC，再利用全等三角形的性质得出答案即可．

解答：证明：（1）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECB和Rt△MCA中，

EC=MC CB=CA

，
∴Rt△ECB≌Rt△MCA（HL），
∴∠3=∠EBC，BE=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∵∠EBC+∠4=180°，
∴∠3+∠4=180°；
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM；

（2）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
∵∠EBC+∠4=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠3=∠EBC，
在△ECB和△MCA中，

∠3=∠EBC ∠BEC=∠AMC=90° EC=CM

，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴CB=AC，EB=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM；

（3）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∵OA+OB=20M，
∴BE=AM，
在△ECB和△MCA中，

BE=AM ∠BEC=∠AMC EC=CM

，
∴△ECB≌△MCO（SAS）
∴CA=BC，∠3=∠EBC，
∴∠3+∠4=180゜；

（4）∵∠3+∠4=180゜，∠4+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠3，
在△ECB和△MCA中，

∠CEB=∠CMA ∠EBC=∠3 BC=AC

，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴EC=MC，BE=AM，
∵CM⊥OA，CE⊥OB，
∴∠1=∠2，
在Rt△EOC和Rt△MOC中，

OC=OC EC=MC

，
∴Rt△EOC≌Rt△MOC（HL），
∴OM=OE，
∴OA+OB=20M．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．