Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F.

(1)求∠ABE的大小及弧DEF的长度；

(2)在BE的延长线上取一点G，使得弧DE上的一个动点P到点G的最短距离为2－2，求BG的长．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE=45°，；（2）4．

【解析】（1）连接AE，如图1，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用圆弧长公式就可求出的长度；

（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG=2=AB，根据等腰三角形的性质可得BE=EG，只需运用勾股定理求出BE，就可求出BG的长．

（1）连接AE，如图1．

∵AD为半径的圆与BC相切于点E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．

∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的长度为=；

（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：

当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG=2+2﹣2=2，AB=2，∴AG=AB．

∵AE⊥BG，∴BE=EG．

∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．