Question

如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？

Answer 1

考点：黄金分割,相似多边形的性质

专题：

分析：根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCFE的宽，再求出宽与长的比值即可得证．

解答：证明：设矩形ABCD的长为x，
∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴宽BC为

5 -1

2

x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴BE=x-

5 -1

2

x=

3- 5

2

x，
∴

BE

BC

=

3- 5 2 x

5 -1 2 x

=

3- 5

5 -1

=

(3- 5 )( 5 +1)

( 5 -1)( 5 +1)

=

2 5 -2

4

=

5 -1

2

，
∴BE与BC的比是黄金比，
∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形．

点评：本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．