Question

8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．

解答 （1）证明：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴BD=OD-OB=5-3=2．

点评 本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．