题目内容
【题目】对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0 为该函数的“不变值”.
（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；
（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.
【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－
【解析】
（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据xo是函数y的一个不动点的定义，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，然后解此一元二次方程即可；
（2）根据xo是函数y的一个不动点的定义得到axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，整理得ax02+bxo+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.
（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.
解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，解得xo=-1或xo=3，所以函数y的不动点为-1和3；
（2）因为y=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，即ax02+bxo+（b-1）=0，
因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2
A，B的中点的坐标为（
），即M（
）
A、B两点关于直线y=kx-2a+3对称，
又∵A，B在直线y=x上，
∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx-2a+3上.
∴
=
-2a+3 得：b=2a2-3a
所以当且仅当a=
时，b有最小值－
【题目】已知二次函数
，
与
的部分对应值如下表所示：
| … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| … | 6 | 1 | -2 | -3 | -2 | m | … |
下面有四个论断：
①抛物线的顶点为
；
②
；
③关于的方程
的解为
；
④
．
其中，正确的有___________________．
【题目】某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第x天） | 1 | 3 | 6 | 10 | … |
日销售量（m件） | 198 | 194 | 188 | 180 | … |
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天） | 1≤x＜50 | 50≤x≤90 |
销售价格（元/件） | x+60 | 100 |
（1）求m关于x的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格-每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
