题目内容

如图，矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N为BC上一点，BN=1厘米，动点M从B点出发，沿BA运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于点P，Q．当点M到达终点A时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若t=1秒，则PM=________厘米；
（2）设四边形PNCQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）M运动到什么位置时，四边形PNCQ的面积与矩形ABCD的面积的比为9：24？

解：（1）由矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N为BC上一点，BN=1厘米，
过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于点P，Q，
所以四边形AMQD是正方形，由△AMF∽△ABN，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）由题意得BM=CQ=t
∵△APM∽△ABN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PM= $\text{[math]}$ ，
∴PQ=AD-PM=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S= $\text{[math]}$ （PQ+CN）×CQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2t．

（3） $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ +2t= $\text{[math]}$ ×3×4，
∴t²+16t-36=0，t₁=2，t₂=-18（舍去）
∴BM=2×1=2厘米，
∴当M运动到AB中点时，四边形PNCQ的面积与矩形ABCD的面积比为9：24．
分析：（1）由矩形ABCD，过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于点P，Q，推出以四边形AMQD是正方形，利用△AMF∽△ABN，得PM的值．
（2）由题意得BM=CQ=t，△APM∽△ABN，利用对应边成比例求得PM，PQ，然后即可求得S与t的函数关系式；
（3）由 $\text{[math]}$ ，解关于t的方程t²+16t-36=0即可．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和矩形的性质的理解和掌握，此题涉及到动点，难度较大．