Question

【题目】如（图1），在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点．

（1）填空： ， ；

（2）点为轴正半轴上一点，若，，且分别平分，如（图2），求的度数；

（3）求点的坐标；

（4）如（图3），在轴上是否存在一点，使三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-3，3；（2）45°；（3）（0，）；（4）存在，Q点坐标为（0，5）或（0，2）；

【解析】

（1）根据非负数的性质得a＋b＝0，b-a-6＝0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；
（2）由AB∥DE可知∠ODE＋∠DFB＝180°，得到∠DFB＝∠AFO＝180°-140°=40°，所以∠FAO＝50°，再根据角平分线定义得∠OAN＝∠FAO=25°，∠NDM＝∠ODE=70°，得到∠DNM=∠ANO=90°-25°=65°，然后根据三角形内角和定理得∠AMD=180°∠DNM-∠NDM＝45°；
（3）①连结OB，如图3，设F（0，t），根据△AOF的面积＋△BOF的面积＝△AOB的面积得到×3×t＋×t×3＝×3×3，解得t＝，则可得到F点坐标为（0，）；

（4）先计算△ABC的面积＝，利用△ABQ的三角形＝△AQF的面积＋△BQF的面积得到|y|3＋|y|3＝，解出y即可．

解：（1）∵（a＋b）2＋|b-a-6|＝0，
∴a＋b＝0，b-a-6＝0，
∴a＝3，b＝3，
故答案为：-3，3；

（2）∵AB∥DE，

∴∠ODE＋∠DFB＝180°，

∵，

∴∠DFB＝∠AFO＝180°-140°=40°，

∴∠FAO＝50°，

∵分别平分，

∴∠OAN＝∠FAO=25°，∠NDM＝∠ODE=70°，

∴∠DNM=∠ANO=90°-25°=65°，

∴∠AMD=180°∠DNM-∠NDM＝45°；

（3）连结OB，如图，
设F（0，t），
∵△AOF的面积＋△BOF的面积＝△AOB的面积，
∴×3×t＋×t×3＝×3×3，解得t＝，

∴F点坐标为（0，）；

（4）存在，

∵，

∴△的面积=，

设Q（0，y），
∵△ABQ的三角形＝△AQF的面积＋△BQF的面积，
∴|y|3＋|y|3＝，

解得y＝5或y＝2，
∴此时Q点坐标为（0，5）或（0，2）；