题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；
（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．
【答案】分析：（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．
解答：
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（3，1），
根据题意，得B′（-1，3）
把B（3，1），B′（-1，3）代入y=mx+n中，
，
解得
∴m=-
，n=
∴此一次函数的解析式为：y=-
x+
，
∴N（0，
），M（5，0）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把C′（-1，0），N（0，
），M（5，0）代入得：
，
解得
，
∴二次函数的解析式为y=-
x2+2x+
；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，
），M（5，0），
∴MN=
=
=
，OE=
=
=
，
∴OP=2OE=2
，
∴OP=
=2
①，
PM=
=5②，
①②联立，解得
，
把x=2代入二次函数的解析式y=-
x2+2x+
得，y=
，
∴点P不在此二次函数的图象上；
（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，
所以，二次项系数和一次项系数不变，
根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，
新解析式就为：y=-
x2+2x；
②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-
，
这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，
所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），
代入解出解析式为y=-
x2-3x；
③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），
所以解出解析式为y=-
x2+3x．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数图象的几何变换等相关知识，在解③时要应用分类讨论的思想进行解答．
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．
解答：
解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴B（3，1），
根据题意，得B′（-1，3）
把B（3，1），B′（-1，3）代入y=mx+n中，
，解得
∴m=-
，n=∴此一次函数的解析式为：y=-
x+，∴N（0，
），M（5，0）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把C′（-1，0），N（0，
），M（5，0）代入得：，解得
，∴二次函数的解析式为y=-
x2+2x+；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，
），M（5，0），∴MN=
==，OE===，∴OP=2OE=2
，∴OP=
=2①，PM=
=5②，①②联立，解得
，把x=2代入二次函数的解析式y=-
x2+2x+得，y=，∴点P不在此二次函数的图象上；
（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，
所以，二次项系数和一次项系数不变，
根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，
新解析式就为：y=-
x2+2x；②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-
，这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，
所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），
代入解出解析式为y=-
x2-3x；③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），
所以解出解析式为y=-
x2+3x．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数图象的几何变换等相关知识，在解③时要应用分类讨论的思想进行解答．
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