Question

17．如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=9，EF=1，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODF=∠AFD=90°，从而证得OD是圆的切线；
（2）过O作OG⊥EC交EC于点G，证得四边形OGFD是矩形，在Rt△OCG中利用勾股定理求得OG，则DF即可求得．

解答 解：（1）DF与⊙O相切．
连接OD．
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠B=∠A，∠B=∠1．
∴∠A=∠1．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°．
∴∠ODF=∠AFD=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切．
（2）过O作OG⊥EC交EC于点G．
∵∠ODF=∠AFD=90°，
∴四边形OGFD是矩形．
∴DF=OG，FG=OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$．
∵OG⊥EC，
∴CG=EG=FG-EF=$\frac{9}{2}$-1=$\frac{7}{2}$．
∴DF=OG=$\sqrt{O{G}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与矩形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．