Question

11．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．
（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当BP=2$\sqrt{3}$时，试说明射线CA与⊙P是否相切．
（3）连接PA，若S_△APE=$\frac{1}{8}$S_△ABC，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质得到CF=AC•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，推出∠CEP=90°，求得CE=AC+AE=6+y，列方程PB+CP=x+$\frac{2\sqrt{3}（6+y）}{3}$=6$\sqrt{3}$，于是得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3，根据BD=2BH=$\sqrt{3}$x＜6，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到PE=$\frac{1}{2}$PC=2$\sqrt{3}$=PB，于是得到射线CA与⊙P相切；
（3）D在线段BA上和延长线上两种情况，根据三角形的面积列方程即可得到结果．

解答 解：（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，
∵∠BAC=120°，AB=AC=6，
∴∠B=∠C=30°，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=∠CPE=60°，
∴∠CEP=90°，
∴CE=AC+AE=6+y，
∴PC=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}（6+y）}{3}$，
∵BC=6$\sqrt{3}$，
∴PB+CP=x+$\frac{2\sqrt{3}（6+y）}{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3，
∵BD=2BH=$\sqrt{3}$x＜6，
∴x＜2$\sqrt{3}$，
∴x的取值范围是0＜x＜2$\sqrt{3}$；

（2）∵BP=2$\sqrt{3}$，∴CP=4$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC=2$\sqrt{3}$=PB，
∴射线CA与⊙P相切；

（3）当D点在线段BA上时，
连接AP，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$，
∵S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$y•$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（6+y）=$\frac{1}{8}$S_△ABC=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
解得：y=$\frac{\sqrt{63}-6}{2}$，代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3得x=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{21}$．

当D点BA延长线上时，
PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（6-y），
∴PB+CP=x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（6-y）=6$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-3，
∵∠PEC=90°，
∴PE=$\frac{EC}{\sqrt{3}}$=$\frac{AC-AE}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-y），
∴S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$x•=$\frac{1}{2}$y•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-y）=$\frac{1}{8}$S_△ABC=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
解得y=$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-3得x=3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．
综上可得，BP的长为4$\sqrt{3}$-$\sqrt{21}$或3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，求一次函数的解析式，证得PE⊥AC是解题的关键．