Question

如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD=

1

2

BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．

解答：解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O、D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∵OA=1，
∴OD=AD-OA=3-1=2，
在Rt△OBD中，
OB=

BD2+OD2

=

32+22

=

13

．
答⊙O的半径为

13

．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．