Question

19．已知二次函数h=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常数，且m≠0）
（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值；
  （3）设二次函数h=x²-（2m-1）x+m²-m与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且y=2-$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}}$，请结合函数的图象回答：当y＜m时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，根据△=b²-4ac即可得到关于m的不等式，判断出△的取值范围即可；
（2）根据A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是该二次函数图象上的两个不同点，可以求出抛物线的对称轴，进而求出m的值和二次函数的解析式；
（3）首先令h=x²-（2m-1）x+m²-m=0，求出x₁=m，x₂=m-1，然后得到y与m的关系式，画出图象，结合图象进行作答．

解答 解：（1）由题意有△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1＞0．
即不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）∵A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是该二次函数图象上的两个不同点，
∴抛物线的对称轴x=$\frac{n-3-n+1}{2}$=-1，
∴$\frac{2m-1}{2}$=-1，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为h=x²+2x+$\frac{3}{4}$；
（3）令h=x²-（2m-1）x+m²-m=0，
解得x₁=m，x₂=m-1，
即y=2-$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2}{m}$，
作出图象如右：
当$\frac{2}{m}$=m时，
解得m=$±\sqrt{2}$，
当y＜m时，m的取值范围为m＞$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜m＜0．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，解答此题的关键是利用数形结合的思想画出函数图象，再根据函数图象直接解答．