题目内容

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是________．

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分析：设BE=x，则EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比克表示出FC= $\text{[math]}$ ，则DF=4-FC=4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²-x+4= $\text{[math]}$ （x-2）²+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF²=AD²+DF²，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为 $\text{[math]}$ =5．
解答：设BE=x，则EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得FC= $\text{[math]}$ ，
∴DF=4-FC=4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²-x+4= $\text{[math]}$ （x-2）²+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值为 $\text{[math]}$ =5．
故答案为：5．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题．