题目内容
【题目】如图1，将三角板放在正方形
上，使三角板的直角顶点
与正方形的顶点
重合，三角板的一边交
于点
．另一边交
的延长线于点
．
（1）观察猜想：线段
与线段
的数量关系是_____；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线
上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点
，其他条件不变，若
、
，请探究线段与线段之间存在怎样的数量关系？（用含
、
的代数式表示）
【答案】（1）EF=EG （2）见解析 （3）
【解析】
（1）因为四边形ABCD是正方形，可得∠BED＝∠DEF＋∠BEF＝90°，根据题意可得，∠GEF＝∠GEB＋∠BEF＝90°，继而可证∴∠GEB＝∠DEF，然后利用ASA判定Rt△EGB≌Rt△EFD，最后根据全等三角形对应边相等即可求解．
（2）过点E分别作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形, 可得∠FEI+∠HEF=∠GEH+∠HEF=90° ，即∠FEI=∠GEH，根据正方形的性质，得出CE平分∠BCD, 可证得EI=EH，利用ASA可判定△FEI≌△GEH，继而得出结论．
（3）过点E分别作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分别为M,N，同（2）可知，∠FEN=∠GEM
由长方形性质得：∠D=∠ENC=90°,进而可得EN∥AD,EM∥AB，由相似三角形的判定可得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB，再由相似三角形对应边成比例，等量代换可得
，继而得
，根据相似三角形的判定可得△FEN∽△GEM，继而求解
．
证明：（1）EF=EG
∵四边形ABCD是正方形
∴ED＝EB，∠D＝∠GBE
∵∠GEF＝90°
∴∠GEB＋∠BEF＝90°
∵∠BED＝90°,
∴∠DEF＋∠BEF＝90°
∴∠GEB＝∠DEF
在Rt△EGB和Rt△EFD中，
∴Rt△EGB≌Rt△EFD（ASA）
∴EF＝EG．
（2）成立，证明如下：
如图，过点E分别作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形
∴∠HEI=90°
∵∠GEF=90°
∴∠FEI+∠HEF=90°,∠GEH+∠HEF=90°
∴∠FEI=∠GEH
由正方形对角线的性质得，AC为∠BCD的角平分线 ，则EI=EH
在△FEI和△GEH中，
∴△FEI≌△GEH（ASA）
∴EF=EG；
（3）如图，过点E分别作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分别为M,N
同（2）可知，∠FEN=∠GEM
由长方形性质得：∠D=∠ENC=90°,
∠ABC=∠EMC=90°,AD=BC=b.
∴EN∥AD,EM∥AB.
∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB
∴
,
，
∴,即
∵∠FEN=∠GEM,∠FNE=∠GME=90°
∴△FEN∽△GEM
∴．
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【题目】
城有肥料
，
城有肥料
.现要把这些肥料全部运往
、
两乡，乡需要肥料240t，乡需要肥料
，其运往、两乡的运费如下表：
两城/两乡 | C/(元/ | D/(元/ |
| 20 | 24 |
| 15 | 17 |
设从城运往乡的肥料为
，从城运往两乡的总运费为
城运往两乡的总运费为
元
(1)分别写出
、与
之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；
(2)试比较、两城总运费的大小；
(3)若城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少?并求出最小值．
