Question

如图1，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=4，将矩形纸片沿对角线AC向下翻折，点D落在点D′处，连接B D′，如图2，求线段BD′的长．

Answer 1

解：设AD′交BC于O，
方法一：
过点B作BE⊥AD′于E，
矩形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABC中，
∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=60°，∴∠DAC=90°-∠BAC=30°，
∵将△ACD沿对角线AC向下翻折，得到△ACD′，
∴AD′=AD=BC=，∠1=∠DAC=30°，
∴∠4=∠BAC-∠1=30°，
又在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴BE=2，
∴AE=，∴D′E=AD′-AE=，
∴AE=D′E，即BE垂直平分AD′，∴BD′=AB=4．

方法二：
矩形ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠DAC，
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=60°，∴∠ACB=90°-∠BAC=30°，
∵将△ACD沿对角线AC向下翻折，得到△ACD′，
∴AD=AD′=BC，∠1=∠DAC=∠ACB=30°，
∴OA=OC，
∴OD′=OB，∴∠2=∠3，
∵∠BOA=∠1+∠ACB=60°，∠2+∠3=∠BOA，
∴∠2=∠BOA=30°，
∵∠4=∠BAC-∠1=30°，
∴∠2=∠4，
∴BD′=AB=4．
分析：先设AD和BC交于点O，△AD′C和△ADC关于AC对称，可得CD=CD′=AB，利用勾股定理，可求AC，那么sin∠ACB=，有∠ACB=30°，∠BAC=60°，就有∠BAO=∠D′AC=∠ACB=∠D′CB=30°，根据图形可得△ABO≌△CD′O，可得，OB=OD′，所以∠OBD=∠OD′B，而∠AOC=∠BOD′，于是∠OBD′=∠OD′B=30°，就有∠AD′B=∠BAD′=30°，从而可得BD′=AB=4．
点评：本题利用了折叠的图形全等，勾股定理，反三角函数，全等三角形的判定和性质．